Ответ на данный вопрос позволяет понять, какие свойства имеет норма в Гильбертовом пространстве, которое является важным математическим объектом в различных областях науки, включая физику, экономику, инженерию и т.д. Знание этих свойств позволяет более глубоко понять структуру и особенности Гильбертового пространства, а также применять его в различных задачах и приложениях. Кроме того, ответ на данный вопрос может дать представление о том, какие свойства нормы являются основными и как они взаимосвязаны, что может быть полезно при изучении других математических объектов, связанных с Гильбертовым пространством.
1 Ответ
Вы должны войти в систему, чтобы добавить ответ.
1. Неотрицательность: $\|x\| \geq 0$ для любого $x \in H$, причем $\|x\| = 0$ только если $x = 0$.
2. Однородность: $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$ для любого $x \in H$ и любого скаляра $\alpha$.
3. Неравенство треугольника: $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ для любых $x, y \in H$.
4. Симметричность: $\|x\| = \|y\|$ для любых $x, y \in H$, если $x = y$.
5. Положительная определенность: $\langle x, x \rangle \geq 0$ для любого $x \in H$, причем $\langle x, x \rangle = 0$ только если $x = 0$.
6. Норма нуля: $\|0\| = 0$.
7. Неравенство Коши-Буняковского: $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|$ для любых $x, y \in H$.
8. Неравенство Минковского: $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ для любых $x, y \in H$.
9. Полнота: любая фундаментальная последовательность в $H$ сходится к элементу $H$.
10. Скалярное произведение: для любых $x, y \in H$ определено скалярное произведение $\langle x, y \rangle$, удовлетворяющее свойствам: линейность по первому аргументу, сопряженная симметричность и положительная определенность.
11. Единичный элемент: $\|x\| = 1$ для любого $x \in H$ с нормой $\|x\| = 1$.
12. Пополнение: любое Гильбертово пространство является пополнением нормированного пространства, то есть любой элемент $H$ можно представить в виде предела последовательности элементов из $H$.