Ответ на данный вопрос интересен, так как квантовый гармонический осциллятор является одной из основных моделей в квантовой механике и широко используется для описания различных физических систем, таких как атомы, молекулы, кристаллы и т.д. Знание уравнений, описывающих квантовый гармонический осциллятор, позволяет понять его свойства и поведение, а также применять его для решения различных задач в физике. Кроме того, ответ на данный вопрос может дать представление о том, какие математические методы и подходы используются в квантовой механике для описания физических систем.
1 Ответ
Вы должны войти в систему, чтобы добавить ответ.
Уравнение Шрёдингера:
$$
i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi
$$
где $\psi$ — волновая функция, $\hat{H}$ — гамильтониан, определяющий энергию системы.
Гамильтониан квантового гармонического осциллятора:
$$
\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2
$$
где $\hat{p}$ — оператор импульса, $\hat{x}$ — оператор координаты, $m$ — масса частицы, $\omega$ — частота осцилляций.
Уравнение Гейзенберга для операторов координаты и импульса:
$$
\frac{d\hat{x}}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{x}] = \frac{\hat{p}}{m}
$$
$$
\frac{d\hat{p}}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{p}] = -m\omega^2\hat{x}
$$
где $[\hat{A}, \hat{B}]$ — коммутатор операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$.
Уравнение Гейзенберга для оператора энергии:
$$
\frac{d\hat{H}}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{H}] = 0
$$