1. Лимит последовательности должен быть равен нулю: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

2. Каждый член последовательности должен быть меньше любого положительного числа: $|a_n| < \epsilon$, где $\epsilon > 0$.

3. Последовательность должна быть ограничена: $|a_n| < M$, где $M$ - некоторое положительное число. 4. Для любого положительного числа $\epsilon$ существует номер $N$, начиная с которого все члены последовательности будут меньше $\epsilon$: $|a_n| < \epsilon$ для всех $n \geq N$. 5. Последовательность должна быть монотонно убывающей или монотонно возрастающей. 6. Для любого положительного числа $\epsilon$ существует номер $N$, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в интервале $(-\epsilon, \epsilon)$: $-\epsilon < a_n < \epsilon$ для всех $n \geq N$. 7. Последовательность должна быть ограничена по модулю: $|a_n| < M$ для всех $n$. 8. Для любого положительного числа $\epsilon$ существует номер $N$, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в интервале $(-\epsilon, \epsilon)$ и выполняться неравенство $|a_n| < \epsilon$: $-\epsilon < a_n < \epsilon$ и $|a_n| < \epsilon$ для всех $n \geq N$. 9. Последовательность должна быть ограничена по модулю и монотонно убывающей или монотонно возрастающей. 10. Для любого положительного числа $\epsilon$ существует номер $N$, начиная с которого все члены последовательности будут находиться в интервале $(-\epsilon, \epsilon)$ и выполняться неравенство $|a_n| < M$: $-\epsilon < a_n < \epsilon$ и $|a_n| < M$ для всех $n \geq N$.